阿基里斯带着托里拆利小号，追着芝诺的乌龟，赶往希尔伯特的旅馆

这个有点让人“丈二摸不着头脑”的标题，估计不少读者朋友都没看明白怎么回事。实际上标题里串接了三个著名的数学悖论。它们分别是：

芝诺悖论

托里拆利小号悖论

希尔伯特旅馆悖论

今天的主要内容就是介绍这三个悖论，为此我准备了一个长故事来将这三个悖论串接起来讲解。

出于某种时空异常现象，存在于不同时空的人物故事被放到了一个全新的时空平台。。。

随着一阵急促的呼吸声，阿基里斯从梦中惊醒，这位荷马史诗中为人称颂的英雄摸着他那没有伤痕的脚后跟（在原时空中，被阿波罗射中脚后跟而亡），才回想起他已经来到了另一个时空。

穿好衣物后，阿基里斯拿起前两天在托里拆利那买的小号，当做礼物去参加希尔伯特新开的一间旅馆的庆典，顺便再好吃好喝住上一晚。

刚走出村子没多远，一位不知从哪走出的老者突然叫住了阿基里斯，说道：尊敬的阿基里斯，我叫芝诺，是这村子的一位居民，我知道您原本是一位英勇的战神，但是我仍心存疑虑，我这有一只乌龟，它的速度虽然不快，但却谁也跑不过它。

阿基里斯摸着脑袋：哪来的糟老头子，神神叨叨在说些什么，还是不要理他为好，免得碰瓷。

正在阿基里斯疑惑时，芝诺悄悄拿走阿基里斯的小号，放到了乌龟背上，然后拍了一下龟背，乌龟便稳稳当当的走了。

等阿基里斯回过神时，乌龟已经走远了，阿基里斯也顾不上质问芝诺了，因为这个小号可是送人的礼物，可不能弄坏了。

阿基里斯开始追赶前面的乌龟，而芝诺大笑道：你要追上这只乌龟，那必定得先跑完现有距离，比如50米，而当你跑完50米时，乌龟在这段时间内也往前跑了一段距离，比如5米，接下来，当你又跑完这5米时，乌龟又往前跑了一点，如此重复下去，你虽然在不断的接近乌龟，但你永远赶不上它。

没等芝诺继续说下去，阿基里斯已经追上了乌龟，并且抱起乌龟向芝诺扔去，大吼道：看你年老不欺你，还是你自己去和乌龟赛跑吧。。。接稳了！

（解释：虽然芝诺悖论看上去，人似乎永远不能追上乌龟，但实际上我们很容易就能证明人追上乌龟所走过的路程，虽然看着是无限多个路程段，但这并不代表是无限长的路程，相反它是一个有限长度，而有限的长度在确定的速度下，耗费的时间自然也是有限的）

阿基里斯终于来到了希尔伯特旅馆，作为数学家的希尔伯特看到阿基里斯送的礼物，顿时来了兴趣。问道：你这小号是哪买的呀？看着好奇怪。

阿基里斯道：这是我从托里拆利手中买的，买的时候他还念念不断，说什么“面积无限大，体积却是有限的，怪哉！怪哉！”

希尔伯特听后，仔细瞧了瞧小号，不一会儿变露出了微笑，喃喃道：有意思，数学上来讲，还真是这么回事！

看着阿基里斯一脸困惑，希尔伯特找来一张纸，在上面画了一个反比例函数y=1/x

说道：我们取这段函数x大于等于1的部分，之后再让这个图形绕x轴转一圈，很容易想象，绕完后的图像和小号模样非常类似。

我们接着对小号的内表面积和内容积做一个计算

发现这个小号的内表面积是无限大，但容积确实一个定值π。这个结论的通俗含义就是：假如我用它来装水，那么只能装一个定量的水；但如果用油漆给它里面刷一遍，却发现怎么也刷不完。

（解释：托里拆利小号仅仅是数学世界的产物，实际上是不可能造出来的，因此阿基里斯买的是个假货）

希尔伯特的一番话，听得阿基里斯满脸问号。于是希尔伯特赶紧岔开话题，说道：阿基里斯兄，咱们不谈这个，天也不早了，来选个房间住下吧，我这家新旅馆可是有无穷多个房间哦。

满心欢喜的阿基里斯正准备选个宽敞的房间休息时，却发现旅馆前台上明明白白的摆着一块“房间已满”的牌子。

阿基里斯又满脸问号的看向希尔伯特：老兄，你这是在逗我吗？房间都满了，你还让我选房间住，这是个什么意思？你不是说，你的旅馆有无穷多的房间吗？怎么还会满房？

希尔伯特说：对啊，确实有无穷多的房间，但今天住店的客人给也是无穷多啊，所以牌子上写“房间已满”并没有不对啊。

阿基里斯满脸带着看待傻子的表情：那我住哪？你这是出题考我的吧？看来我只能在外面打地铺了。

希尔伯特说：别啊，这个问题很简单，我只要将2号房客人挪到3号，3号挪到4号，以此类推，反正是无限多的房间，这样一来，你就可以住一号房啦！

阿基里斯顿时来了兴趣:那如果现在又来了无穷多的客人要住店，你该怎么办呢？

希尔伯特不慌不忙的回道：那也容易，只要把原先的1号客人放到2号房，原先的2号客人放到4号房。。。按照这个规律，相当于把原先的客人全部挪到偶数号房间，空出的奇数号房间再给新来的无穷多客人居住。

（解释：希尔伯特旅馆悖论其实不应该叫悖论，只不过它的描述给人以违反直觉，甚至是耍小聪明的感觉。但实际上，这个问题就相当于“两个无穷集合的大小该怎么确定？”

比如1+∞和∞谁更大？这个一眼看上去，好像是1+∞更大一些，因为多了一个1。但实际上在无穷集合的问题上，我们要采用“势”的概念来比较，如果两个集合的元素能够不重复的一一对应，那么就称为等势，也就是两者一样大，因此1+∞和∞是一样大的。

对应于“把原有房客搬到偶数号房间”，实际上就是比较正偶数集合和正整数集合的大小，很显然这也可以建立一一对应的关系（同样的，正奇数集合和正整数集合也是一样大），因此即便是又来了无穷多的客人，这个旅馆还是可以住的下。）

德国数学家、大卫.希尔伯特

本篇文章的内容到此结束。

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